超导量子比特能级公式推导详解

超导qubit能级由电路非线性决定，核心为约瑟夫森效应带来的cosφ势能。

为什么选超导量子比特？我的三个理由

在室温量子方案、离子阱、光量子方案中，我唯独偏爱超导体系，原因有三：

1. 工艺亲和——依托成熟的CMOS工艺，良率已从十年前的35%提升到去年的92%，这给了我们平民也能玩的硬件基础。
2. 门时间短——单比特门20 ns、双比特门50 ns，远快于离子阱的μs级，更适配NISQ时代的变分算法需求。
3. 读出保真——现代行波参量放大器（TWPA）将单次读出fidelity推到99.2%，为实时错误纠正赢得窗口。

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电路到哈密顿量：五步速写

之一步，画出等效电路：电容C、约瑟夫森结EJ、外加偏置电流Ib。
第二步，写出经典势能U(φ)=－EJ cosφ－(Φ0/2π)φ·Ib。这里的Φ0=h/2e。
第三步，把结点电荷Q与相位φ配对，得到拉格朗日量L = ½C(ħ/2e)²φ̇² + EJ cosφ + Φ0Ibφ/2π。
第四步，做勒让德变换，写出哈密顿量H = 4EC n² － EJ cosφ －Φ0Ibφ/2π，其中EC=e²/2C。
第五歩，把φ用升降算符展开，保留到第四阶非线性，就得到tran *** on 能级公式
E_n ≃－EJ + √(8ECEJ)(n+½) – EC/12·n(n+1)。

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非线性为何决定量子比特？

线性LC振荡器相邻能级等间距，而约瑟夫森结的cosφ势能引入非线性，间距变为Δn = √(8ECEJ) – EC·(n+½)/6。只要频率非谐性α = Ec/√(8ECEJ) ≳ 30，就足够做选择性的单比特操作，而不会串扰到|2>态。

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为什么量子态不会掉到|0>？

我问过自己，超导铝在20 mK相当于热噪声≈k *** ≈4 μeV，而qubit间距ħω≈200 μeV，远高于热涨落；再加上高品质三维腔Q>10⁷，使得T1>100 μs。量子态想掉都难，正是这双重屏障保护了我们的计算。

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如何验证推导？一次实验侧写

把芯片放进稀释制冷机，用VNA做频域谱。当偏置Φext=0.5Φ0时，实测到的最左边谐振峰频率f_01=5.12 GHz；代入上面公式反推α≈0.035，与室温下测得的EJ=15 GHz、EC=220 MHz相符。那一刻，理论曲线与实验点的吻合，像《论语》说的“如切如磋，如琢如磨”，让我确信模型没有白费纸。

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初学常见误区清单

误区一：把cosφ直接写成二次近似——结果只能得到谐振子，非线性消失，量子比特立刻不成立。
误区二：忽略电荷噪声——高阶隧道耦合会让T2骤降。解决方案是加一个并联SQUID形成Fluxonium，把电荷矩阵元压到10⁻³以下。
误区三：误把ħ当作hc——在计算Φ0时，一定要把c去掉，否则会多出三个数量级，电路直接不工作了。

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拓展阅读：从单比特到耦合链

当你熟练掌握单比特能级后，可以用电容C_c耦合两个tran *** on，再把相互作用写成H_int = ħg(a†_1 a_2 + a_1 a†_2)。此时共振点g/2π=30 MHz即可实现iSWAP门，谷歌“Sycamore”芯片就是在此基础扩展到53比特。

引用《费曼物理学讲义》：“What I cannot create, I do not understand.” 只有把公式拆碎、重新拼出一块芯片，才算真正懂得超导量子计算的物理。