超导量子比特能级公式解析

超导量子比特能级公式常用E=ℏω√(1-n/4EJ/Ec)

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什么是超导量子比特能级公式？

超导量子比特能级公式把电路元件的电感、电容、约瑟夫森能量翻译成量子力学语言。初学者只需记住一句话：只要把EJ（约瑟夫森能量）与Ec（充电能）的比值搞清，就能判断该超导器件适合做电荷比特、通量比特还是相位比特。

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EJ与Ec：两个关键物理量

1. EJ：约瑟夫森结允许库珀对隧穿的“勇气值”。取值越大，隧道越畅快，相位越稳定。
2. Ec：把单个库珀对挤进岛屿所需的“门票钱”。电容越小，门票越贵。

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公式的来龙去脉

经典起点：《电动力学导论》第三卷里杰克逊写下超导环的哈密顿量，之后人们把它量子化。
简化假设：忽略耗散、外加磁通Φe，只保留下列四项

H = 4Ec (n̂ − ng)² − EJ cos ϕ̂

通过正则变量对易关系[ϕ̂,n̂]=i，得到矩阵表示，再做二次量子化，便引出能级公式

En = ℏωp (n + 1/2) − (Ec/12)(6n² + 6n + 3) + …

其中ωp = √(8EJ Ec) / ℏ 称为等离子体频率。

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如何用公式挑器件？

EJ/Ec < 10 → 电荷受限，做电荷量子比特，典型IBM tran *** on。
EJ/Ec > 50 → 相位波动小，做通量量子比特，典型Delft fluxonium。
中间值 → 混合比特，兼顾读取灵敏度与相干时间。

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自己算一遍：手撕实例

假设某电路

• EJ = 10 μeV
• Ec = 0.25 μeV
• 外部偏置 ng = 0.5

代入二次近似公式：
ωp/2π = √(8 × 10 × 0.25 μeV) / ℏ ≈ 6.3 GHz
更低两个能级差 ≈ 6.3 GHz − Ec/2 = 6.275 GHz
这就是Xmon芯片里测出的00-01跃迁频率。

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初学者会遇到的3个坑

1. 忽视电荷噪声：公式忽略1/f噪声，真实芯片会退相干；
2. 漏看高阶项：n>2的高阶色散效应会让多比特门误差放大；
3. 把经典电感当成量子电感：量子化时一定要把通量ϕ量子化，而非电压。

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与行业大佬的一次偶遇

去年在APS三月会议上，我问John Martinis：“你觉得公式之外的‘隐藏参数’是什么？”
他回答：“封装带来的阻抗失配比任何第三阶非线性都致命。”
这句话被我写进实验记录本第三页，每次做电磁仿真都先看一遍。

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延伸阅读与工具包

• 数值仿真：QuTiP官方教程第9章给出超导电路哈密顿量模版。
• 文献引用：Koch et al. PRA 2007, “Charge-insensitive qubit design derived from the Cooper pair box”。
• 名言彩蛋：《红楼梦》里“假作真时真亦假”，映射到量子世界：把非线性算真，其余当近似，反而更接近实验。